Dr.phil.nat. Fuat Altunsu
mpci
Secme YazilarMatlab IIMatlab IMatlabTeknik Mekanik ProblemleriFiziksel ModellemeElektromanyetik Dalgalarin Madde ile Etkilesmesi ve LaserNonlineer Optige GirisSpektroskopiye Girisyari ilektkenler ve Fotovoltaik
Fiziksel Modelleme
 

Modelleme genelde fiziksel sistemleri gercege en yakin sekilde laboratuar ya da yazilim ortamina indirgeme yöntemidir. Burada gercege en yakindan kastimiz sistemin kendi icindeki ve cevre dünya ile etkilesimlerinin göz önünde bulundurulmasidir. Modelleme yapilmasinin ana nedeni sistemi anlayabilmek ve sistemin gelecegi hakkinda söylem sahibi olmaktir. Örnek olarak bir depremi modellemek istiyorsak, düsey ve yatay salinimlari betimlemek icin bir kütleyi birbiriyle dik kesisen iki yaya baglayip sonrada dis bir harmonik kuvvetle sistemi tedirgin edebiliriz. Bu model laboratuar ortaminda kolayca gerceklestirlebilir ve sistemden alinmak istenilen enformasyonlar (örnegin yatay ve düsey salinimlar) bir laser vibrometresi ile  yeterli duyarlilikta olcülebilir. Böylesi bir sistem hakkinda bilgi edinmenin bir baska yoluda sistemi matematiksel yazmaktir. Fizikte karmasik harketleri yazmanin bir yolu Lagrange Formalizminin kullanilmasidir. Her ne kadar bu yöntemin sifati literatürde bir formalizm olarak tanimlansada, gercekte formalizmden öte bir yöntemdir ve cogu zaman Newton prensibi ile elde edilmesi zor olan karmasik sistemler icin kolayca differansiyel denklem elde etme yöntemidir. Burada sözü edilen differansiyel denklemler hareket denklemleridir ve bu denklemler, model ne kadar gercege yakinsa o kadar karmasiktir, hatta cogu zaman bir dogrusallastirma yapilmazsa denklemler kaotiktir. Bu yüzden bu denklem takimlari nümmerik entegre edilir. Analitik cözümler cogu zaman denklem takimlari dogrusallastirilirsa olasidir. Boyutlari gözle görülen dogaya kiyasla cok kücük olan atom alti parcaciklarinin mekaniksel modellenmesi, parcaciklarin bagli bulundugu potansiyellerin klasik mekaniksel benzerleri bulunmadigi icin olasi degildir. Bu tür sistemlerde bir cok parcacigin bir biriyle etkilesmesi söz konusudur ve pertürbasyon, ab- initio, DFT gibi kuantum mekaniksel yaklasim teorileriyle modellenirler. Bir örnek verirsek, elektrikle yüklü ve kendi eksenlerinde saga ve sola dönen küreler toplulugunu hizlandirip, inhomojen manyetik alandan gecirip, bir perde üzerindeki dagilimlarini gözlemlemek kuatum yasalari kullanarak bilgisayar simulasyonlarinda gerceklestirilebilir (Stern-Gerlach deneyi).  Ancak gercekte var olan bir fiziksel sistemin hic bir zaman gerek laboratuar ortaminda gerekse yazilim ortaminda  tam olarak modellenemeyecegini burada yeri gelmisken hemen söyleyelim.

I- Sensor Modeli

Yukarda gerek ölcümler sonucu gerekse hareket denklemlerin entgrasyonu sonucu elde edecegimiz verileri ''enformasyon'' olarak tanimladik ve simdiye kadar bu enformasyonlarin ne oldugunu aciklamadik. Bu alt baslikta bir sensor (algilayici) modeli tasarlayacagiz daha sonra bu sensorun hareketlerinin differansiyel denklemlerini yazip Matlab kodu olusturacagiz ve nümmerik integral alacagiz. Böylece sistemin herhangi bir andaki konumunu, hizini, frekansini, sisteme etkiyen kuvveti yani kinematik ve dinamik bütün bilgileri eldetmis olacagiz. Ayrica hareket denklemlerinin nasil Simulink koduna cevrilecegini görecegiz. Böylece basit kütle yay sistemlerini inceleyerk sensorik konusuna giris yapmis olacagiz. Konuyla ilgilenen ve cok az önbilgisi olan arkadaslar burada verilen bilgilerle kendi kendilerine model tasarlayabilecek, Matlab'ta kendi kodlarini yazabileceklerdir. Bu baslik altinda önce modeller kurulacak, modellere ait hareket denklemleri yani sistem matrisleri yazilacaktir. Ikinci bölümde program yazip her bir modelin differansiyel denklemlerini cözüp, sonuclari tartisacagiz.

Model 1Ilkin figür 1 deki yay kütle sistemini inceleyelim. m kütleli bir cisim sag ve solundan yay sabitleri k1 olan iki türdes yay ile duvara baglanmistir ayrica kütleye katsayisi b olan bir de sürtünme kuvveti etkimektedir. Sinüssel bir F kuvveti ile tedirgin edilen böylesi bir sistemin harketlerini inceleyelim.

                                                                        

 figür 1: Sönümlü- zorlamali kütle yay sistemi. Burada m kütle, F disardan etkiyen kuvvet, k da yay sabiti ve b sönüm katsayisidir.

Ise Lagrange estiligini yazarak basalayalim (1'nci denklem). Bu esitlik yitikli, disardan zorlamali bir sistemin hareket denklemlerini yazabilmek icin bir sablondur. Burada L Lagrange fonksiyonu olup sistemin kinetik enerjisinden potansiyel enerjisi cikarilarak bulunur. q'lar genellestirilmis koordinatlar olarak adlandirilir ve birlesik hareket yapan sistemlerde bir kac koordinatin görecegi görevi tek basina görürler. R ise hiza bagli bir yitik fonksiyonudur. Esitligin sagindaki Q'lar sisteme etkiyen dis kuvvetlerir.

                                                                                    

 Lagrange fonksiyonunu elde edebilmek icin önce sistemin potansiyel enerjisini yazalim. Bu, kütlenin sag ve solundaki iki yayindan birinin gerilmesi ve digerinin sιkιsmasi ile elde edilir. Burada sιkιsma ve genlesme ayni büyüklükte olup, yaylarda biriken potansiyel enerji denklemide x0 ile gösterilirse:

                                                                                                                  

toplam potasiyel enerjisi elde edilir. 

Sistemin kinetik enerjisi ise yukardaki koordinatin zaman göre türeviyle verilir:

                                                                                                                  

Simdi bir tanimlama yapalim, bu da sisteme hiza bagli bir sürtünmenin etki ettigini varsayalim. Bu asagidaki gibi yine x0 koordinatinin birinci türevi ve bunu b gibi bir sürtünme katsayisi ile carpimiyla elde edilir.

                                                                   

Kinetik ve potansiyel enerji farklarini alirsa sistem icin  Lagrange fonksiyonunu asagidaki gibidir:

                                                                                                                                                               

Sistemi zorlayan sinüssel kuvvet Q ile gösterilip

                                                                                                                                                  

bütün bu degerler (1) de yerine yazilip, türevler alinirsa esitlige asagidaki hareket denklemine ulasilir:

                                                                                                                                        

 Bundan sonraki islemlerde asagidaki kisaltmalari kulanacagiz:

                                                                                                                  

Denklem (7) ikinci derceden  lineer bir differansiyel denklemdir ve anlitik olarak cözülebilir. Biz bu ve bundan sonraki diger örenkleride nümmerik olarak cözecegiz. Ancak Matlab'ta differansiyel denklemleri kodlayabillmemiz icin onlari birinci dereceden differansiyel denkleme dönüstürmeliyiz. Yüksek dereceden bir differansiyel denklemin, bir alt derece differansiyel denkleme dönüstürülmesi yeni bir degisken atanmasi ile mümkündür.  Bir differansiyel denklemdeki en yüksek derceden türevi bir düsük dereceli baska bir degiskenin türevine esitlersek, differansiyel denklemin dercesini bir basamak indirgemis oluruz. Yeni bir degisken atanarak indirgenen differansiyel denklem artik bir denklem takimindan olusur. Denklem sekizde bu yapilmistir.

                                                                                                                        

  Artik sistem Matlab'ta kodlanabilir hale indirgenmistir. Biz her ne kadar yukardaki denklem takimini Matlab'ta (Matrix Laboratory) kodlasakta, program sistemi asagidaki gibi sistem matrisleri seklide isleme sokacaktir. Bu yüzden,  bu bölümde her modelin sonunu bir sistem matrisi yazarak sonlandiracagiz.

                                                                                                                      

 

Model 2:  Ikinci model birinci modelin biraz daha gelistirilmis seklidir; iki elektromotoru yay sabiti k2 olan bir yay ile birbirlerine, sol tarafdaki M1 kütleli motor da yay sabiti k1 olan bir yayla duvara baglanmisitir (burada M'ler motorlarin toplam kütleleridir; mil+gövde+m1). Motorlarin her ikisinin dönme milleri r yari capli kollar ile genisletilmis olup, bu kollarin sonuna sekilde (yesil kütleler) görüldügü gibi m1 kütleleri baglanmistir. Sisteme etkiyen herhangi bir sürtünme kuvvetinin olmadigini düsünelim.                                  

   

                                                                                       

figür 2: Baglilasimli, zorlamali yay- kütle sistemi: yatay salinimlar göz önüne alindigi icin sistem lineerdir.

Sistemin devindirici kuvvetleri iki motorun m1 kütlelerine etkiyen merkezkac kuvvetleridir. Burada biz kütlelerin yatay salinimlarini inceleyecegimiz icin yaylara paralel etkiyen kuvvetleri göz önüne alacagiz. Ancak bir model olarak düsey kuvvetlerin sistem üzerindeki etkisinin incelenmeside önemli enformasyon verecektir. Öyleki, motorlarin üzerine oturduklari zeminin altina, bir birine  paralel  fakli yay sabitli yaylarin monte edildigini düsünelim. Böylesi bir sistem yatay ve düsey deprem simulasyonu icin pek elverislidir. m1  kütlelerinin takili olduklari kollarin konumlari zemine dik  durumudayken (sekildeki gibi), düseye maksimum kuvvet etki eder. Eger kütleleri zit fazda tutarsak zemine ilerleyen dalga seklinde bir kuvvet dalgasi etki edecektir. Sistemi sonsuz motor zincir seklinde düsünürsek ve ardisik motorlari zit fazda ayarlarsak, zemine konumsal ve zamansal periyotlarla yatay boyunca ve düsey dogrultuda bir maksimum bir minimum kuvvetler etkiyecektir. Daha gercekci bir durum, isin icine yatay salinimlarinda katilmasidir, bunu da göz önüne alirsak zemine  etkiyen kuvvetlerin konumsal peryodik yapisini da bozmus oluruz. Görüldügü gibi böylesi bir sistem düsey ve yatay salinimlari modellemektedir ve bu yüzden yatay ve düsey deprem simulasyonu icin elverislidir.  Söz konusu sistem ve benzerleri yalniz bir fiziksel gercekgi anlatmak icin model olusturmazlar, bunun yani sira tipki bir Richter ölcegi gibi sismik sarsintilari ölmcek icin bir sensor görevide görürler.  Uygulamada da örnek verecek olursak makina montajinda  böylesi sistemler göz önünde bulundurulur ve makina gövdeleri gelen sarsintilari yutabilecek süspansyon görevi gören elastik materyaller üzerine oturtulurlar. Bir baska örnek ise deprem bölgelerinde depreme dayanikli yüksek binalarin süspansiyon sistemleri üzerine insa edilmeleridir. Simdi konumuza geri dönüyoruz ve sadece sistemin yatay salinimlari ile ilgilenecegiz. Kütleleri M1 ve M2 olan iki motor sadece x- ekseninde hareket edebilsinler.  Sistemin hareket denklemlerini yazabilmek icin, her bir kütlenin tek özgürlük derceleri kullanilarak, sistem icin toplam iki özgürlük dereceli harekt denklemi yazacagiz. Yukardaki tecrübemizden biliyoruz ki, bu durum iki tane ikinci derece differansiyel denklem ile ifade edilebilir ve denklemler arada baglanti yayinin olmasindan dolayi birbirine baglidir.  Bu durumda bir kütlenin koordinati diger kütlenin harekt denklemini tedirgin edecektir ve baglilasimli differansiyel denklem takimi olusacaktir.  Mkütlesinin z1 ve M2 kütlesinin de z2 kadar ötelemesi ile iki kütleyi birbirine baglayan yayin toplam sιkιsmasi (z2-z1) kadar olacaktir. Böylece asagidaki gibi kinetik ve potansiyel enerji toplamlari elde edilir.

                                                               

Sistemin bu toplam enerjilerini denklem 5'te yerine yazarsak, asagidaki Lagrange fonksiyonu elde edilir:

                                                                

Bundan sonra geriye denklem 1'deki kisimi türevlerin alinmasi islemi kalmaktadir, bu türevler alinirsa ve Lagrange esitliginde yerine yazilirsa                                                         

                                                       

sonucta baglilasimli ikinci dereceden lineer differansiyel denklem takimi elde edilir.Denklem 11'in sagindaki kuvvetler m1 kütlesine etkiyen merkez kac kuvvetleridir. Bu kuvvetleri bir cosinüs terimi ile carpmakla, merkez kac  kuvvetlerinin yaylar boyunca iz düsümünü elde etmis oluyoruz. Aradaki φ-faz farki ile kütlelere etkiyen kuvvetleri bir hiyerarsi icine sokma sansina sahibiz. Simulasyonda bu farki degistirip sistem üzerindeki etkisini inceleyecegiz.

                                                        

Yukardaki hareket denklemlerini birinci dereceden differansiyel denklem takimina dönüstürmek icin ek olarak iki degisken sisteme eklenir. Böylece birinci derceden baglilasimili dört differansiyel denklem elde edilmis olur.

                                                  

  Denklem 12'de asagidaki kisaltmalar kullanilmistir.           

                                                  

Böylece sonucta denklem 13'dek sistem matrisine ulasilir.                                                                               

                                                       

                                          

Model 3: Bir önceki modelde düsey salinimlarda hesaplamaya  dahil edilseydi, sistemi nonlineer hareket denklemleri ile yazmak zorunda kalacaktik. Bundan kurtulmak icin sadece yatay salinimlara baktik. Simdi ise durum farkli; m1 kütlesinin ortasina, figür 3'te gösterildigi gibi özgür salinabilecek, kütlesi m uzunlugu l olan fiziksel bir sarkac baglidir ve salinim esnasinda sarkac ekran düzleminde, x ve y bilesenleri olan birlesik hareket yapar. Bu birlesik hareketi, adina daha önce genellestirilmis koordinatlar dedigimiz bir tek koordinatla yazabiliriz. Burda sarkac icin genellestirlimis koordinat sarkacin düsey ile yaptigi aci φ'dir ve bu koordinat herhangi bir yaklasiklik yapilmazsa sistemi nonlineer yazmamizi zorunlu kilar. Sistemin matematiksel yazilimi icin secilecek ikinci genellestirilmis koordinat m1 kütlesinin ötelemesi olan x1 degiskenidir.

                                                            

  figür 3: Nonlineer sisteme bir örnek: Zorlamali salinan bir kütleye bagli fiziksel sarkac                                          

Bu iki genelestirilmis koordinati kullanarak hareket denklemelerini yazmaya calisalim. Denklem 14 a ve b de  laboratuar gözlem cercevesinde bakan bir gözlemci icin sarkacin kütle merkezinin koordinatlari ve hizlari yazilmistir;

                                             

 Sarkacin kütle merkezinin koordinatlari ve yaylardaki sιkιsma miktari  x1'i potansiyel enerji ve her iki cismin kütle merkezlerinin hizlarinida kinetik enerji denkleminde yerine yazarsak, sistem icin toplam  15 a ve b'deki kinetik ve potansiyel enerji terimlerine ulasiriz. Toplam kinetik enerji bagintisindaki eylemsizlik momenti J, ucundan asilmis fiziksel bir sarkac icin Steiner teoremiyle 1/3ml2 bulunur.                                                         

                            

Burada dikkat edilmesi gereken konu, m kütleli sarkacin ikisi x ve y-koordinatlari boyunca ötelemeden, biri ise  asilma noktasi cevresinde dönmeden olmak üzere, toplam üc kinetik enerji terimine sahip olmasidir. m1 kütleli cismin hareketi bir tek kinetik enerji terimi ile ifade edilir, oda x'ler boyunca ötelemesidir. Böylece denklem 16'daki Lagrange fonksiyonuna ulasilir.

                                 

Denklem 17'lerde her iki genelestirilmis koordinatlar icin Lagrange fonksiyonunun kismi türevleri alinmistir.

                                  

Sonuc olarak m1-kütlesinin ötelemesi ve ona asili olan m kütleli sarkacin dönme hareketlerini veren baglilasimli ikinci dereceden lineer olmayan differansiyel denklem takimina ulasilir:

                                    

Denklem 18'lerde görüldügü gibi, x1'in zamana göre ikinci türevi m kütleli cismin hareket denkleminde (18b) ve φ'in ikinci ve birinci türevi m1 kütleli cismin hareket denkleminde ortaya cikmaktadir. Hareket denklemlerini karsilikli biribirine baglayan bu türevler, icinde bulunduklari denklemlerde sanki bir dis kuvvet gibi etki yaparlar. Bu da kütlelerin koordinelli davranacaklarini gösteririr. Simdiye kadar yazdigimiz denklemlerin icinde, bir degiskenin ikinci türevi ile ona karsi koyan ayni degiskenin kendisi her zaman karsimiza cikti. 18a'da bu durum görülmektedir; x1'in ikinci türevine karsi koyan bir x1'li  terim mevcuttur ( esitligin sagindaki ikinci  terim). Bu iki terimin bir differansiyel denklem icinde olmasi, denklemin cözümünde mutlaka bir sinüs saliniminin olacagini gösterir (hangi fonksiyonun ikinci türevi ile kendisi toplanirsa sifir eder?). Diger terimlerden gelen katki bu sinüs saliniminin seklini degistirir. 18b'de   φ~sinφ yaklasimi yapilarak denklem lineerlestirilirse, durum aynidir ve φ'nin ikinci türevine karsi koyanbir φ degiskeni denklem icinde mevcuttur. Denklem 19'da bundan sonra kullanacagimiz kisaltmalar verilmistir;

                                      

18'deki hareket denklemleri birinci dereceye indirgenip ve yukardaki kisaltmalar da kullanilirsa, denklem 20'ye  ulasilir:

                                     

   Denklem 20'yi lineer denklem takimina dönüstürebilmek icin farkli lineerlestirme yöntemleri deneyecegiz, bunlardan birincisi m1 kütlesini sarkacin kütlesine göre cok büyük oldugunu varsayacagiz (m1>>m), böylece ξ1≈0 olur ve denklemler 21'de gösterildigi gibidi:

                                    

Böylece kücük kütle yaklasimi ile 21'deki birinci denklemi lineerlestirmis olduk. Artik birinci denklem analitik cözülebilir ve buradan elde edilen cözüm ikinci denklemde yerine yazilarak, ikinci denklem de nümmerik cözülür. Bir baska lineerlestirme yöntemi ise yukarda degindigimiz sarkacin kücük salinimlar yapacagini varsaymaktir(-15°<φ<15°):

                                                        

 böylece bu yaklasim ile 22'deki denklem takimina ulasilir:                       

                                     

  ve asagidaki kisaltmalar kullanilirsa  

                                   

baglilasimli lineer ikinci derece differansiyel denklem takimi elde ederiz:

                                   

  Denklem 24'ün sistem matrisi birinci dereceden denklemlerle asagidaki gibi yazilir:

                                   

Simde her iki yaklasimi birlikte ele alalim; denklem 21'de kullanilan kücük kütle ve denklem 22'de kullanilan kücük salinimlar yaklasikliklari birlikte kullanilirsa, sistemin lineer differansiyel denklem takimi en yalin sekilde asagidaki gibi olur:

                                   

 

Böylece basit gibi görünen ve x-ekseni boyunca salinan bir kütle ile ona asili olan bir sarkacin matematiksel yaziliminin sonuna geldik. Konu icinde gördügümüz gibi böylesi sistemlerde her hangi bir yaklasiklik yapilmazsa hareket denklemleri lineer olmayan differansiyel denklem takimlari seklinde karsimiza cikiyor. Denklem 20'yi adim adim 26'ya gelene kadar lineerlestirdik. Bundan sonra elde ettigimiz denklem takimlarinin hangilerinin baslangic sartlarina asiri duyarli olduklarini ve bir kaotik davranis gösterip göstermediklerini inceleyecegiz. Bir sonraki bölümde bunu yapacagiz.

Model 4: Ortogonal salinimlara örnek olarak figür 4'te gösterilen modeli verebiliriz. M2 kütleli cisim k2 yaylari ile duvara baglanmistir, M2' nin üstünde bulunan m1 kütleli cisimde k1 yaylari ile M2 cismine baglanmistir. Burada da, son iki örnekte oldugu gibi kütlelerin sürtünmesini gözardi edecegiz. Ayrica k1 ve k2 yaylarinin sadece eksenleri boyunca esnek olduklarini, dolyasiyla eksenlerinin disinda sonsuz sertlikte olduklarini kabul edecegiz ya da eksen disi hareketleri engellemek icin m1 kütlesinin y'ler boyunca sonsuz, x'ler boyunca sifir sürtünmeli kabul edecegiz. Benzer sekilde M2 kütlesini x'ler boyunca sonsuz, y'ler boyunca sifir sürtünmeli kabul edecegiz. Böylece bu sartlar altinda söz konusu üst üste duran iki kütlenin ayni yönde salinmalari yasaklanmistir. Simdi M2 kütlesini y'ler boyunca sinüssel bir kuvvetle vibrasyona zorlayalim, diger taraftan bütün sistemi z ekseni etrafinda bir ωz acisal hizi ile dönderelim.  Bu dönmeden dolayi  alttaki M2 kütlesine +y'ler boyunca, disardan uygulanan sinüssel kuvvete ek olarak, bir merkez kac kuvveti de etkiyecektir. Yaylar yalniz kendi eksenleri boyunca salinimlara izin verdikleri icin, yukardaki m1 kütlesinin M2'ye etkiyen bu iki kuvvetten haberi yoktur.

                                                               

figür 4: Üst üste ve birbirine dik salinan baglilasimli yay -kütle sistemi: mikro mekanikte bu tür katmanlar silikon teknolojisi ile gerceklestirilir.

Sistemin hareketlerini yukardaki sinirlamalar ile kisitlamamiz, sanki böylesi bir sistemde iki kütlenin-Coriolis kuvvetlerini göz ardi edersek- baglilasimli olmadigini isaret ediyor. Ancak M2 kütlesinin y'ler boyunca bir cizgisel hizinin olmasi ve bütün sistemin bir dönem hareketi icinde bulunmasi iki kütleyi ortogonal salinima zorlayacaktir. Asagidaki sekil bu - hiza bagli- sözde kuvvetin nasil olustugunu aciklar

                                                                                 

 figür 5:  Dönen bir diskin üzerinde v- hizi ile radiyal hareket eden bir cismin farkli gözlem cervelerden gözlemlenen yörüngeleri.

Figür 5'te ω acisal hizi ile z-ekseni etrafinda dönen bir disk ve bu disk üzerinde v hizi ile hareket ederek dairenin kiyisina ulasmaya calisan m kütleli cismin yörüngesi gösterilmektedir. Disardan, eylemsiz bir gözlem cercevesinden bakan bir gözlemciye göre, hareketli sekilde gösterildigi gibi beklenen noktanin x kadar ötesinde bir noktada dairenin kiyisina ulasacaktir (sari ok). Bu yol farki acisal hiz ile yarcapin carpimi kadardir:

                                                                                     x=1/2act2=rω 

 simde yukardaki yol formülünde  t=r/v yazilip ac yalniz birakilirsa

                                                                                               ac=2ωv 

büyüklügünde bir ivme bulunacaktir. Böylece  dönen disk üzerinde v hizi ile hareket eden cisme dönme yönünde Fc=2mωv büyüklügünde bir kuvvet etki edecektir. Hareketlinin düzlemi terketmedigi varsayilarak bu kuvvet burada, bir ön bilgi olmasi icin skaler hesap edildi. Türetmeler bölümünde biraz vektör analiz ile  bu kuvvetin asagidaki (x) gibi vektörel gösterimini türetecegiz.

                                                                                         FC=-2mω×V                          (x)

Denklem (x) Coriolis kuvvetidir. Bu kuvvetten dolayi, kuzey yarim kürede kuzeye dogru hareket eden bir hava ya da bir bulut kütlesi doguya dogru, ayni sekilde güneye dogru hareket eden kütleler de batiya dogru sürüklenirler. Metrolojide etkisini söyledikten sonra, bir de stadyumda kosucularin hangi yönde kosmalari gerektigine bakalim. Bir stadyumun cevresinde kosan bir kosucuya  etkiyen merkez kac kuvvetini az indirgemek ona zit yönde Coriolis kuvveti uygulamaktan gecer. Bu, kuzey yarim kürede, sol kolun dönme ekseni tarafina yönelmesi ile olusur ki güney yarim kürede tam tersidir. Batidan doguya dönen dünya üzerindeki bu durum asagida gösterilmistir.

                                      

 figür 6: Kuzey yarim kürede sol kollari stadyumun merkezini gösterecek sekilde kosan kosuculara etkiyen merkez kac kuvvetleri ve Coriolis kuvvetleri.

Figür 6 stadyum etrafinda dönen kosucular etkiyen kuvveti göstermektedir. Burada Fm yesil oklar merkez kac ,Fc kirmizi oklar Coriolis kuvvetlerini, v mavi oklarda anlik cizgisel hizlari gösterir. Kosucularin, saatin dönem yönünün ters yönünde dönmeleri durumuda, Coriolis kuvvetlerinin stadyumun merkezine yönelecegi aciktir. Güney yarim kürede sol kolun etrafinda dönemede Coriolis kuvvetleri disari dogru etki yapar. Bir örnek olarak yüz metreyi saga ve sola dogru 10sn'de kosan bir kosucuya etkiyen net kuvveti hesaplamak okuyuculara birakilmistir.

Simdi sisteme geri dönelim, bu kisa acilamdan sonra artik Coriolis kuvvetleri ile bu iki kütlenin birbirne göre dik salinacaklarini söyleyebiliriz. Dolaysiyla ortogonal bu iki koordinatlarin birbiri ile iliski icinde olmalari ω acisal hizindan kaynaklidir. Simdi harekt denklemlerini türetelim:

Devam sonra!

 

II- Diferansiyel Denklemlerin Cözümleri

Asagida Model1'deki sistem matrisi 9'un Matlab kodu verilmistir. Bu program iki editöre yazilmis olup ilkine sistem matrisi , digerine cikti komutlari girilmistir. Grafikler hareketli cismin ilk 15 saniyesini göstermektedir. Burada önce dis  harmonik kuvveti sifir alarak cismin ilk önce sönümlü özgür salinimini inceleyelim. Cismin konumunun baslangic degerini x1(0)=5mm ve baslangic hizini sifir seciyoruz. Sistemi karakterize eden asagidaki sabitler pratikte bir ivme ölcer sensorün sabitlerine es degerdir. Secilen bu sabitlerle ve baslangic sartlari ile grafiklerdeki cözümler elde edilir. Burada gösterilmemis olan sistemin kinetik ve potansiyel enerjilerinin hiza, konuma, ivmeye göre degisimlerini incelemek, bir uygulama olarak okuyuculara birakilmistir.

function dx=sekizDenkM1(t,x);
m=0.005;
b=0.00003;
d=sqrt(b/m);
k1=100000;
A0=0;
f=100;
w1=sqrt(2*k1/m);
dx=[x(2);(-d^2)*x(2)-(w1^2)*x(1)+A0*sin(2*pi*f.*t)];

[t,x]=ode45('sekizDenkM1', [0:0.001:15],[0.005 0]);
m=0.005;
b=0.00003;
d=sqrt(b/m);
k1=100000;
A0=0;
f=100;
w1=sqrt(2*k1/m);
x(:,1)
x(:,2)
SM=[x(:,1) x(:,2)]



 Figür X: Sistem matrisi 9'un özgür sönümlü durumunun nümmerik cözümleri. Diferansiyel denklermlerin cözmleri bize sisteme ait kinetik ve dinamik bütün bilgileri verir.

 Yukarda da deginildigi gibi böylesi bir sensör otomotiv sektöründe arabalarin ivmelerini ölcmek icin kullanilir. Yatayda bir kac cm, düseyde mikrometre boyutunda olan bu tür sensörler silisyum levhalarindan yapilir. Ivme ölcümü kapasite ölcümüne dayalidir. Salinan kütle ile kütlenin elastik bagli oldugu duvarlar bir kondansatör gibi davranir. Böylece salinan kütlenin salinim süresince duvarlara olan uzakligi kondansatörün sigasinda degisiklige yol acar. Kapasitedeki degisimi hesaplayabilmek icin kütlenin duvarlara olan uzakligini hesap etmemiz gerekir. Yukaradaki figürlerde böylesi hesaplamalar yapabilmek icin yeterli  veriler vardir. Simdi bu cözümleri irdeleyelim. Sistem disardan bir kuvvet etkimemektedir. Kütle durgun noktasindan positif x-ler yönünde 5mm ayrilarak serbest birakilir. Kütle etkiyen sürtünmeden dolayi bir süre (~20s) sonra enerjisinin yitirip yine durgun konumuna gelecektir. Figür1 de bu gösterilmistir. Burada cözümün icine alan zarfi üstel azalan bir fonksiyon benzetip bildigimiz sönüm katsayisini hesaplayabiliriz. Ikinci figürde, cisim 5mm denge konumundan uzakta birakildiktan sonraki cismin hizinin zamana göre davranisi gösteriliyor. Burada da cözümün zarfi üstel azalan bir davranis göstermektedir bu karakterden hizin sönüm katsayisi hesaplanabilir. Burada grafigin y eksenini kestigi nokta 30m/s dir. Bu hiz cismin denge noktasindan gecis hizidir. 15 saniyeden sonra hizin sifira gittigi gözlemlenir.....

devami sonra...

......

v(0)=0;

x(0)=0

A=6*10^-3 m

m=0.005;
b=0.00003;

k1=100000;

f=100;

int 0-7s


  


 

 

 

Not: Bu sitedeki dökümanlar yazarin izni olmadan hic bir sekilde ticari amacli kullanilamazlar.

                                                                                                                           Fuat Altunsu

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fiziksel Modelleme